1 Contenido de la clase
Sintaxis de la lógica de primer orden [00:00-01:45]
Una fórmula de LPO se construye con:
- Términos: constantes que nombran objetos (p. ej. Ali, Otto), variables (x, y, z) y funciones aplicadas a términos (p. ej. la suma de dos números) [01:01-01:20].
- Fórmulas atómicas: un predicado aplicado a términos (p. ej. "x es un entero par") [01:24-01:28].
- Conectivos aplicados a fórmulas: ¬, ∧, ∨, →, ↔ [01:31-01:38].
- Cuantificadores aplicados a fórmulas: ∀ y ∃ [01:39-01:44].
∀x (Par(x) ∧ Mayor(x, 2) → SumaDeDosPrimos(x)) [00:45-00:51]
Se retoma la frase de la clase anterior: "para todo x, si x es un entero par mayor que 2, entonces x es la suma de dos primos" [00:45-00:51].
Cuantificadores y su negación [02:19-03:11]
- ∀x P(x): para todo x se cumple P(x).
- ∃x P(x): existe algún x tal que P(x).
La negación de un cuantificador lo transforma en el otro:
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) · ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) [02:55-03:00]
El orden de los cuantificadores importa [04:11-05:21]
Se comparan dos frases que parecen iguales pero no lo son:
- "Para todo estudiante existe un curso que le gusta" (∀e ∃c): cada estudiante puede tener su propio curso.
- "Existe un curso que a todos los estudiantes les gusta" (∃c ∀e): un mismo curso debe gustarle a todos [04:19-04:47].
El profesor lo explica con dos ciclos anidados: en ∀x∃y se recorre x y por cada x se busca un y (el ciclo termina en cuanto lo encuentra); en ∃y∀x hay que encontrar un y que funcione para todo x [04:51-05:21].
Ejemplos de traducción a LPO [05:24-06:05]
- "Todos los estudiantes saben inteligencia artificial" = ∀x (Estudiante(x) → SabeIA(x)) [05:28-05:35].
- "Existe un curso que todo estudiante ha tomado" = ∃c (Curso(c) ∧ ∀e (Estudiante(e) → HaTomado(e, c))) [05:41-05:49].
- Si el curso Q es un concepto, entonces el estudiante que lo tomó sabe ese concepto [05:51-06:00].
Del lenguaje natural a la lógica: el reto es la traducción [06:07-07:18]
Hoy mucha gente parte del lenguaje natural, lo traduce a lógica de primer orden (u otras lógicas) y desde ahí hace inferencia, porque existen muy buenos mecanismos para hacerlo [06:19-06:41]. El ejercicio principal es la traducción [06:32]. Al traducir se especifica qué es cada cosa (qué es un estudiante, qué es un curso) y luego esas expresiones se evaluarán como verdaderas o falsas [06:55-07:11].
Modelos en lógica de primer orden [07:43-09:03] [09:33-21:23]
Un modelo representa una situación del mundo. En lógica proposicional un modelo era una asignación de valores de verdad (1/0) a las variables (p. ej. "lluvia", "mojado") [07:51-08:08]. En lógica de primer orden un modelo es más rico:
- Un dominio (universo) de objetos, p. ej. {o1, o2, o3} [09:33-09:51].
- Cada constante se interpreta como un objeto del dominio: John→o1, Bob→o2 [20:03-20:12].
- Cada predicado se interpreta como una relación sobre los objetos (p. ej. "es estudiante") [09:55-20:00].
- Las funciones mapean objetos a objetos (p. ej. agrupar o1 y o3) [09:57-20:00].
Se recorren varios "mundos" (mundo 1, 2 y 3) que interpretan las mismas constantes y predicados de maneras distintas, p. ej. quién es estudiante [20:55-21:09].
Suposiciones sobre los modelos [22:35-23:28]
- Suposición de nombres únicos: cada objeto tiene a lo más una constante (no llamar "John" y "Bob" al mismo objeto) [22:47-22:58].
- Cerradura de dominio: cada objeto del dominio tiene al menos una constante [23:01-23:14].
- Juntas garantizan una relación uno a uno entre constantes y objetos [23:16-23:18]. El profesor advierte que no hay que equivocarse con las suposiciones en el examen [23:23-23:28].
Suposición de mundo cerrado [23:29-24:13]
En algunas interpretaciones se supone que todo lo que no está dicho es falso [23:33-23:37]. Ejemplo con argumentos de adolescentes: "no me dijiste que estaba prohibido hacer eso" → se asume que lo no dicho es prohibido [23:39-23:45]. También existe la interpretación contraria (lo que no está definido…), que puede llevar a conclusiones completamente diferentes [23:45-23:51].
Elaboración de la base de conocimiento [24:43-25:41]
Se encadenan predicados: si "x es estudiante de la U" implica "x es persona", y "x es profesor de la U" implica "x es persona", ambas implican "persona de la U" [24:43-25:05]. Cuantos más objetos y combinaciones haya, más grande es el mundo que hay que revisar [25:26-25:35].
Sustitución [29:20-30:00]
Una sustitución es un mapeo que reemplaza variables por términos (p. ej. {X→a, Y→…}). Al aplicar una sustitución a una expresión se obtiene una nueva expresión [29:22-29:31].
Unificación y unificador más general [40:30-41:27] [44:53-45:46]
La unificación busca una sustitución tal que la sustitución de T1 sea igual a la sustitución de T2; si no existe tal sustitución, las expresiones no se unifican [40:30-40:37]. Se busca el unificador más general (MGU) [40:55-40:57]. Se usa para "comunicar" (unificar) expresiones, p. ej. A1' con A1, y en el ejemplo "X toma el curso Y, Y es de concepto Z, entonces X sabe Z" [44:53-45:46].
Resolución en lógica de primer orden [63:25-68:06]
Para aplicar la resolución se convierte la base de conocimiento a forma normal conjuntiva (CNF):
- Eliminar implicaciones (→ se reescribe con ∨ y ¬) [65:33-65:41].
- Empujar las negaciones hacia adentro (leyes de De Morgan y negación de cuantificadores: ¬∀ se vuelve ∃, ¬∃ se vuelve ∀) [65:43-66:00].
- Renombrar variables para que no haya confusiones entre alcances [66:00-66:12].
- Eliminar los cuantificadores existenciales sustituyéndolos por funciones de Skolem [66:18-66:33].
- Distribuir ∨ sobre ∧ (paso equivalente al de lógica proposicional) [66:37-66:46].
- Eliminar los cuantificadores universales [66:58-67:03].
Con las cláusulas en CNF se aplica la regla de resolución con unificación: se cancelan literales complementarios, p. ej. Ama(z, x) con ¬Ama(u, v) [67:49-67:53]. Ejemplo con "animal", "ama", "no ama" y "alimenta" [67:23-68:00].
Ejercicio: ¿Sócrates es mortal? [68:08-68:48]
- Todo humano es mortal: ∀x (Humano(x) → Mortal(x)).
- Sócrates es humano.
- Pregunta: ¿Sócrates es mortal? [68:10-68:17].
Se aplica resolución: se niega la conclusión, se unifica la variable x con Sócrates y se llega a la contradicción (mortal y no mortal), lo que prueba que Sócrates es mortal [69:15-69:30].
Ejemplo clásico: "Cualquiera que ama todos los animales" [69:41-69:59]
- Cualquiera que ama todos los animales es amado por alguien [69:44].
- Cualquiera que mata un animal no es amado por nadie [69:48].
- Jack ama todos los animales [69:51].
- Jack o Curiosity mató a la gata [69:53].
- Pregunta: ¿Curiosity mató a la gata? (ejemplo clásico de Russell y Norvig) [69:55-69:59].
2 Puntos destacados / Lo que hay que saber
3 Actividades y tareas pendientes
No se indicaron tareas con fecha de entrega en esta clase. El profesor dejó prácticas recomendadas:
4 Dudas que podrían examinar
¿Por qué importa el orden de los cuantificadores?
Porque ∀x∃y admite un y distinto por cada x, mientras que ∃y∀x exige un mismo y que funcione para todo x; son condiciones diferentes [04:19-04:47].
¿Qué es un modelo en lógica de primer orden?
Una situación del mundo: un dominio de objetos, con constantes, predicados y funciones interpretados sobre esos objetos [09:33-21:23].
¿Qué diferencia hay entre "nombres únicos" y "cerradura de dominio"?
Nombres únicos: a lo más una constante por objeto. Cerradura de dominio: al menos una constante por objeto. Juntas dan una relación uno a uno entre constantes y objetos [22:47-23:18].
¿Qué significa la suposición de mundo cerrado?
Todo lo que no está dicho se considera falso [23:33-23:37].
¿Qué es unificar y qué es el unificador más general?
Unificar es encontrar una sustitución que haga idénticas dos expresiones; si no existe, no se unifican. La mejor sustitución es el unificador más general (MGU) [40:30-40:57].
¿Para qué sirven las funciones de Skolem?
Para eliminar los cuantificadores existenciales durante la conversión a CNF [66:18-66:33].
¿Cómo demuestra la resolución que una frase se sigue de la KB?
Se niega la conclusión, se convierte todo a CNF y se cancelan literales complementarios hasta llegar a la cláusula vacía (contradicción) [67:49-68:06].
5 Sitios o recursos para visitar
Libro de referencia del curso; el ejemplo "Curiosity killed the cat" y la resolución en LPO están en el capítulo de inferencia (cap. 9). · google.com
Búsqueda para profundizar en CNF, unificación y funciones de Skolem. · google.com
Búsqueda del ejemplo de resolución con gatos y animales usado en clase. · google.com
6 Glosario de términos
- Término: constante, variable o función aplicada a términos.
- Fórmula atómica: un predicado aplicado a términos.
- Cuantificador universal (∀): "para todo x…".
- Cuantificador existencial (∃): "existe algún x…".
- Modelo: una situación del mundo; en LPO, un dominio de objetos con constantes, predicados y funciones interpretados.
- Dominio (universo): el conjunto de objetos sobre el que se interpreta la lógica.
- Suposición de nombres únicos: cada objeto tiene a lo más una constante.
- Cerradura de dominio: cada objeto tiene al menos una constante.
- Mundo cerrado: todo lo que no está dicho se asume falso.
- Sustitución: mapeo que reemplaza variables por términos.
- Unificación: hallar una sustitución que haga idénticas dos expresiones.
- Unificador más general (MGU): la sustitución más general que unifica dos expresiones.
- CNF (forma normal conjuntiva): conjunción de cláusulas (disyunciones de literales).
- Función de Skolem: función introducida para eliminar un cuantificador existencial.
- Resolución: regla de inferencia que cancela literales complementarios tras unificar.
7 Mapa mental textual
- Inteligencia Artificial · Clase 11 · Lógica de primer orden
- Sintaxis
- Términos: constantes, variables, funciones
- Fórmulas atómicas: predicados aplicados a términos
- Conectivos y cuantificadores (∀, ∃)
- Semántica: modelos
- Dominio de objetos (universo)
- Constantes → objetos; predicados → relaciones; funciones → funciones
- Suposiciones: nombres únicos, cerradura de dominio, mundo cerrado
- Traducción del lenguaje natural a LPO
- El orden de los cuantificadores importa (∀e∃c vs ∃c∀e)
- Inferencia
- Sustitución
- Unificación y unificador más general
- Resolución: CNF + funciones de Skolem + cancelar literales
- Ejercicios clásicos
- Sócrates es mortal
- "Curiosity mató a la gata" (Russell y Norvig)
- Sintaxis